Ключевые тезисы:

• Для решения уравнений Максвелла на произвольных топологиях, применяется несколько численных подходов дискретизации электродинамической задачи.
• Сложные системы, такие как печатные платы или интегрированные микросхемы могут быть рассчитаны с использованием одного из данных методов, тем не менее, каждый из них обладает специфическими преимуществами и собственной областью применимости.
• Некоторые решатели позволяют пользователю выбрать какой численный метод будет использован в той или иной задаче.

Задачи электромагнетизма, гидродинамики, механики, термодинамики могут быть решены с использование численных методов, реализованных в компьютерных решателях. Это программное обеспечение, изначально развивавшееся в академической научной среде, теперь является стандартным средством работы в индустрии и производстве. Для решения задач, в рамках данного подхода, должна быть выбрана, как схема дискретизации, так и непосредственно сам метод решения. Программное обеспечение предоставляют стандартный набор численных подходов к решению проблемы, задачей пользователя же, является сделать осознанный выбор в пользу того или иного метода.

Выбор численного метода и схемы дискретизации задачи, лишь в малой степени зависит от ее геометрии, по большей части, решение принимается согласно тому, какую информацию требуется получить об объекте исследования. Существует три стандартных численных подхода в электродинамике: метод конечных разностей во временной области (FDTD), метод конечных элементов (FEM) и метод моментов (MoM). Если у вас не было опыта работы в данной области, рекомендуем вам ознакомиться с содержанием этого поста, чтобы понять разницу между этими методами.

Выбор численного метода для решения электродинамической задачи

В силу того факта, что лишь очень ограниченное количество задач электродинамики могут быть решены аналитически в замкнутой форме, использование численных методов является необходимым для установления характеристик электромагнитных полей в сложной системе. Прежде чем приступить к рассмотрению стандартных численных методов электродинамики, приведем ряд входных вопросов, ответы на которые, позволяют сделать верный выбор между FDTD, FEM и MoM:

• Какой характер временной зависимости наблюдается в системе? Временная-зависимость может быть переходная, гармоническая или статическая.
• Какой тип среды фигурирует в системе? Среды бывают линейными и нелинейными, однородными и неоднородными, изотропными и анизотропными.
• Какой размерности задача и могут ли быть в ней выделены плоскости симметрии для сокращения размерности получаемого решения?
• Необходимо ли непосредственно решать уравнения Максвелла (для нахождения полей E и H) или достаточно решить только внутреннюю задачу для источников?

Если вы можете ответить на эти вопросы, значит возможно принять верное решение, касаемо использования того или иного численного метода в данной конкретной задаче.

Основные различия между FDTD, FEM и MoM

Метод конечных разностей во временной области (FDTD)

Метод конечных разностей во временной области – стандартный метод вычислительной математики, использующейся, в том числе, для решения зависящих от времени электродинамических задач. Этот метод используется для решения задач общего типа, в которых присутствует источник электромагнитных волн, описываемый некоторой временной функцией. Эта временная зависимость может проявляться двумя способами (часто существующими одновременно):

• Переходный процесс: система демонстрирует переход между двумя устойчивыми состояниями, или осцилляцию относительно одного равновесного положения. Такой тип временной зависимости проявляется, когда система возбуждается импульсно, или гармоническим источником со ступенчатой амплитудной функцией.
• Управляемый процесс: изменение системы во времени, связано с изменением источника, расположенного в ней. Отклик системы полностью определяется поведением временной функции источника. Обычно в таких случаях существует начальный отклик системы, который через некоторое время спадает до нуля, аналогично тому, как это происходит в RLC цепях.    

Как и для любого другого уравнения в частных производных, для FDTD начальное состояние и граничные условия в системе должны быть определены изначально.

Метод конечных элементов (FEM)

Метод конечных элементов применяется в статических системах, или в системах, обладающих полностью гармонической временной зависимостью с линейными средами для того, чтобы анализ происходил исключительно на одной частоте.  Нелинейные задачи могут быть исследованы методом FEM, но только до те пор, пока возможно исключить временную переменную из уравнений, которыми они описываются, одним из следующих способов:

• Временная переменная устраняется либо ее заменой, либо преобразованием уравнения.
• Производные по времени разделяются с пространственными переменными, таким образом, чтобы их можно было принять равными нулю и рассматривать статический случай.

В задачах, зависящих от времени, необходимо использовать FDTD, а не FEM. Главной целью в методе конечных элементов, является получение структурно устойчивой системы уравнений, которая должна быть решена, при исключении временных производных. Другими словами, необходимо установить сходимость переходного процесса к некоторому стационарному состоянию, которое может быть получено, с помощью любого из методов теории устойчивости (Теорема Пуанкаре – Бендиксона, анализ собственных значений и т.д.). До тех пор, пока математическая модель демонстрирует устойчивость, метод конечных элементов может быть применен для нахождения сходящегося в пространстве решения.

Метод моментов (MoM)

Этот метод не следует путать со статическим методом оценки, который носит такое же название. В этом численном методе используется сетка дискретизации на границе топологии системы, в которой решается задача по нахождению плотности токов (J) или зарядов (Q или ⍴), с помощью итеративных матричных решателей. В силу того, что в данном методе решаются матричные уравнения, время вычислений показательно возрастает в зависимости от степени размерности задачи, т.е. порядка O(LMNM), где L – масштаб длины, M – количество пространственных измерений, N – количество узлов в сетке. К тому же, повышение плотности сетки не гарантирует увеличение точности расчета. В некоторых случаях, сетка низкой плотности обеспечивает более точный результат, нежели сетка высокой плотности.
Использование матричной формулировки обладает своими преимуществами; значимые результаты, такие как, матрицы параметров радиотехнических цепей, могут быть моментально определены на портах топологии системы. Именно поэтому, в приложениях проектирования печатных плат, используется MoM для графической визуализации импедансных характеристик. Пример компоновки высокоскоросных линий DDR4 показан ниже.    

Результаты расчета методом моментов MoM импеданса DDR4 при высокоскоросной компоновке печатной платы.

Каждый метод обладает своими преимуществами

Необходимо отметить несколько важных моментов, касающихся этих вычислительных техник. Это связано с тем, что многие проектировщики просто используют предпочитаемый ими метод, игнорируя преимущества доступных альтернатив. В сводной таблице, показанной ниже, коротко описаны области применимости рассматриваемых здесь методов.  

Симбиоз указанных стандартных численных методов с нелинейными уравнениями, описывающими дисперсию, свойства материалов и даже полуклассические эффекты, является современной темой для исследований. Ко всему прочему, кроме FDTD, FEM и MoM, существуют и другие численные методы, , используемые для дискретизации сложных геометрий и решения систем дифференциальных уравнений, в том числе в электромагнитных задачах. Некоторые примеры включают такие области как: лазеры, нелинейная оптика, широкополосные сигналы в нелинейной среде с дисперсией, эволюционирующие во времени системы. При решении задач электродинамики современные решатели могут быть эффективно использованы для выбора любого численного метода из всего доступного пользователю набора.

Altair Feko (подробнее) содержит полное волновое решение в частотной и во временной областях: MoM – метод моментов, FTDT – метод конечных разностей во временной области, FEM – метод конечных элементов, MLFMM – многоуровневый метод быстрых мультиполей, а также асимптотические методы: PO – метод физической оптики, лучевые аппроксимации, такие как, LE-PO – метод физической оптики для электрически больших объектов, RL-GO – метод геометрической оптики с лучевым распространением , а также UTD – однородная теория дифракции. Получить временную лицензию>>

‍

‍